Cuáles son las partes de la integral por partes en ∫x² ln(x) dx | Paso a paso

Selección de u y dv

Al abordar la integral por partes de x 2 ln x dx, es fundamental elegir correctamente las funciones ( u ) y ( dv ). La integración por partes se basa en la fórmula ( int u , dv = uv - int v , du ), donde ( u ) representa una función que debe derivarse y ( dv ) una función que debe integrarse. En este caso particular, la integral que deseamos resolver es ( int x^2 ln x , dx ). Para seleccionar adecuadamente ( u ) y ( dv ), debemos considerar qué función se simplifica más al ser derivada o integrada.

La elección más conveniente para esta integral es tomar ( u = ln x ). Esta selección es estratégica porque la derivada de ( ln x ) es relativamente simple: ( frac{d}{dx} (ln x) = frac{1}{x} ). Por otro lado, ( dv ) debe ser aquella parte de la integral que puede integrarse fácilmente. Aquí, ( dv = x^2 , dx ) cumple con esa condición, ya que su integral es conocida: ( int x^2 , dx = frac{x^3}{3} ).

Este proceso inicial de selección no solo facilita los cálculos subsiguientes, sino que también asegura que el problema se reduzca a uno más manejable. La clave está en identificar cuál de las funciones involucradas se beneficia más de la diferenciación o la integración.

Es importante recordar que la decisión de asignar ( u ) y ( dv ) puede variar según el contexto del problema. Sin embargo, en este caso específico, la elección de ( u = ln x ) y ( dv = x^2 , dx ) resulta ser la más eficiente.

Importancia de la elección correcta

La selección adecuada de ( u ) y ( dv ) es crucial para garantizar que el problema se resuelva de manera efectiva. Si se toma una mala decisión, como por ejemplo asignar ( u = x^2 ) y ( dv = ln x , dx ), el cálculo podría volverse extremadamente complicado debido a la dificultad de integrar ( ln x ). Por lo tanto, la regla general es priorizar funciones que se simplifiquen al ser derivadas o integradas.

Además, este primer paso permite estructurar claramente el resto del procedimiento. Al haber definido ( u = ln x ) y ( dv = x^2 , dx ), podemos avanzar hacia el siguiente paso: calcular ( du ) y ( v ).

Estrategias adicionales

En problemas más complejos, es posible que sea necesario evaluar varias opciones antes de decidir cuál es la mejor combinación. Sin embargo, en este caso, la elección de ( u = ln x ) y ( dv = x^2 , dx ) sigue siendo intuitiva y práctica. Este tipo de estrategia también puede aplicarse en otras integrales similares.

Cálculo de du y v

Una vez seleccionadas las funciones ( u ) y ( dv ), el siguiente paso consiste en calcular sus respectivas derivadas e integrales, ( du ) y ( v ). Recordemos que hemos tomado ( u = ln x ) y ( dv = x^2 , dx ). Comencemos calculando ( du ):

[ du = frac{d}{dx} (ln x) , dx = frac{1}{x} , dx ]

Esta derivada es directa y sencilla, ya que la regla básica para derivar ( ln x ) es bien conocida. Ahora, calculemos ( v ), que es la integral de ( dv ):

[ v = int x^2 , dx = frac{x^3}{3} ]

Aquí aplicamos la regla de potencias para integrar ( x^2 ), obteniendo ( frac{x^3}{3} ). Estos resultados son fundamentales para sustituirlos en la fórmula de integración por partes.

El cálculo de ( du ) y ( v ) no solo completa la preparación necesaria para resolver la integral, sino que también demuestra cómo cada componente contribuye al resultado final. Es importante verificar que cada paso se haya realizado correctamente, ya que cualquier error en estos cálculos podría propagarse en etapas posteriores.

Verificación de los resultados

Antes de continuar, es recomendable revisar los valores obtenidos para ( du ) y ( v ). En este caso:

• ( du = frac{1}{x} , dx ): Esta derivada es correcta y corresponde a la regla estándar de ( ln x ).
• ( v = frac{x^3}{3} ): Esta integral también es válida y sigue la regla de potencias para funciones polinómicas.

Ambas expresiones cumplen con las propiedades matemáticas esperadas, lo que nos permite avanzar con confianza hacia la aplicación de la fórmula de integración por partes.

Aplicabilidad en otros contextos

El cálculo de ( du ) y ( v ) es un paso común en muchos problemas de integración por partes. Aunque aquí trabajamos específicamente con ( ln x ) y ( x^2 ), estas técnicas pueden extenderse a otras funciones elementales y combinaciones más complejas.

Aplicación de la fórmula de integración por partes

Con los valores de ( u ), ( dv ), ( du ) y ( v ) ya calculados, ahora podemos aplicar la fórmula de integración por partes. Recordemos que la fórmula general es:

[ int u , dv = uv - int v , du ]

Sustituyendo las funciones correspondientes:

[ u = ln x, quad dv = x^2 , dx, quad du = frac{1}{x} , dx, quad v = frac{x^3}{3} ]

La fórmula se convierte en:

[ int x^2 ln x , dx = left( ln x cdot frac{x^3}{3} right) - int frac{x^3}{3} cdot frac{1}{x} , dx ]

Simplificando la segunda integral:

[ int x^2 ln x , dx = frac{x^3 ln x}{3} - int frac{x^2}{3} , dx ]

Esta expresión muestra cómo la integral original se ha transformado en una suma de términos más simples. El primer término, ( frac{x^3 ln x}{3} ), surge directamente del producto ( uv ), mientras que la nueva integral, ( int frac{x^2}{3} , dx ), es mucho más manejable que la original.

Interpretación del resultado parcial

El hecho de que la integral original se descomponga en dos componentes distintas refleja la naturaleza de la técnica de integración por partes. El primer término, ( frac{x^3 ln x}{3} ), captura la interacción entre ( u ) y ( v ), mientras que la segunda integral representa el "residuo" que aún necesita ser resuelto.

Este proceso ilustra cómo la integración por partes permite reducir problemas complejos a formas más simples, siempre que se realicen las sustituciones adecuadas.

Comparación con otros métodos

Aunque existen otras técnicas para resolver integrales, como sustitución trigonométrica o fracciones parciales, la integración por partes es especialmente útil cuando aparecen productos de funciones como ( x^2 ln x ). Su capacidad para descomponer problemas en pasos más pequeños hace que sea una herramienta indispensable en cálculo integral.

Resolución de la nueva integral

El siguiente paso consiste en resolver la nueva integral generada, ( int frac{x^2}{3} , dx ). Como esta integral es más simple que la original, podemos abordarla directamente utilizando las reglas básicas de integración. Primero, extraemos la constante ( frac{1}{3} ) fuera de la integral:

[ int frac{x^2}{3} , dx = frac{1}{3} int x^2 , dx ]

Ahora aplicamos la regla de potencias para integrar ( x^2 ):

[ int x^2 , dx = frac{x^3}{3} ]

Por lo tanto:

[ int frac{x^2}{3} , dx = frac{1}{3} cdot frac{x^3}{3} = frac{x^3}{9} ]

Este resultado representa el valor de la nueva integral. Sustituyendo este valor en la expresión anterior, obtenemos:

[ int x^2 ln x , dx = frac{x^3 ln x}{3} - frac{x^3}{9} ]

Hemos logrado simplificar completamente la integral, dejándola en términos de funciones elementales.

Validación del cálculo

Es importante verificar que cada paso de la resolución de la nueva integral sea correcto. En este caso:

• La extracción de la constante ( frac{1}{3} ) es válida.
• La integración de ( x^2 ) sigue correctamente la regla de potencias.

Estas validaciones aseguran que el resultado obtenido sea preciso y coherente.

Relación con la integral original

La resolución de la nueva integral completa el ciclo de la integración por partes. Ahora que hemos obtenido un resultado explícito para ( int frac{x^2}{3} , dx ), podemos avanzar hacia la simplificación final del problema.

Simplificación del resultado

Con todos los cálculos realizados, podemos ahora simplificar el resultado final de la integral por partes de x 2 ln x dx. La expresión obtenida hasta este punto es:

[ int x^2 ln x , dx = frac{x^3 ln x}{3} - frac{x^3}{9} ]

Para simplificar, factorizamos ( x^3 ) como término común:

[ int x^2 ln x , dx = x^3 left( frac{ln x}{3} - frac{1}{9} right) ]

Esta forma simplificada es equivalente a:

[ int x^2 ln x , dx = frac{x^3}{3} ln x - frac{x^3}{9} ]

Finalmente, agregamos la constante de integración ( C ), que es esencial en cualquier solución indefinida:

[ int x^2 ln x , dx = frac{x^3}{3} ln x - frac{x^3}{9} + C ]

Explicación de la simplificación

El proceso de simplificación consistió en combinar términos similares y factorizar donde sea posible. Esto no solo hace que la expresión sea más compacta, sino que también facilita su interpretación y uso en aplicaciones prácticas.

Significado del resultado

El resultado final, ( frac{x^3}{3} ln x - frac{x^3}{9} + C ), representa la solución completa de la integral. Cada término tiene un significado claro: el primero captura la dependencia logarítmica, mientras que el segundo ajusta la contribución polinómica.

Expresión final de la solución

La solución final de la integral por partes de x 2 ln x dx es:

[ int x^2 ln x , dx = frac{x^3}{3} ln x - frac{x^3}{9} + C ]

Esta expresión sintetiza todo el trabajo realizado en los pasos anteriores. Desde la selección inicial de ( u ) y ( dv ), hasta la resolución de la nueva integral y la simplificación final, cada etapa contribuyó a obtener este resultado.

Reflexión sobre el proceso

Resolver una integral por partes requiere atención a los detalles y una comprensión sólida de las reglas fundamentales del cálculo. La clave está en elegir adecuadamente ( u ) y ( dv ), calcular correctamente ( du ) y ( v ), y aplicar la fórmula de integración por partes con precisión.

Aplicaciones prácticas

Este tipo de integrales aparece con frecuencia en áreas como física, ingeniería y economía, donde se modelan fenómenos que involucran funciones logarítmicas y polinómicas. Dominar la técnica de integración por partes no solo amplía nuestras habilidades matemáticas, sino que también nos permite resolver problemas reales de manera efectiva.